Казахстанский филиал Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Образование
04.05.2016

Вопросы к междисциплинарному государственному экзамену по направлению «Прикладная математика и информатика» (уровень магистратуры)

 Профиль подготовки - «Математическое моделирование»


1.Общая схема вычислительного эксперимента.

2. Функция распределения и кинетическое уравнение. Приближение механики сплошной среды. Вывод уравнений механики сплошной среды с использованием законов сохранения

3. Описание напряженного состояния. Тензорные поля и их свойства. Применение вариационных принципов для построения математических моделей.

4. Обобщенные производные. Пространства Соболева.

5. Положительно определенные операторы. Энергетическое пространство. Задача о минимуме функционала энергии.

6. Корректные и некорректно поставленные задачи. Определение регуляризирующего оператора. Обратная задача для уравнения теплопроводности и метод квазиобращения.

7. Метод регуляризации А.Н. Тихонова. Определение регуляризирующего параметра по невязке.

8. Аксиоматика Колмогорова. Определение случайной величины.

9. Энтропия Шеннона как мера неопределенности.

10. Функция полезности, её определение и свойства.

11. Использование функции полезности в страховании.

12. Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности неотрицательной матрицы.

13. Арбитражные цепочки на валютном рынке. Теорема Африата-Вериана.

14. Вывод уравнения Больцмана для газа из твердых сфер. Н-теорема.  Свойства интеграла столкновений. Переход к системе Навье-Стокса. Связь с уравнениями газовой динамики для макроскопических величин.

15. Стохастические дифференциальные уравнения. Винеровский процесс. Стохастический интеграл. Формула Ито. Сильные и слабые решения.  Стохастический интеграл по мере Пуассона. Обобщенное уравнение Больцмана и его связь с соответствующим случайным процессом.

16. Способы дискретизации задач математической физики (разностные, конечных элементов, частиц).  Консервативные и полностью консервативные схемы. Метод опорных операторов.

17. Постановка разностной краевой задачи. Основные понятия теории разностных схем: сетки, сеточные функции; разносная схема; аппроксимация, устойчивость, сходимость; корректность; методика исследования устойчивости и сходимости (метод энергетических неравенств и принцип максимума).

18. Разностные схемы как операторные уравнения. Самосопряженность и положительная определенность разностного оператора. Однородность и консервативность разностных схем. Схемы на неравномерных сетках. Правило Рунге повышения точности, апостериорная оценка точности.

19. Методы построения разностных схем: интегро-интерполяционный, вариационно - разностные (Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных элементов); понятие о методе частиц.

20. Разностная схема Эйлера. Методы Рунге-Кутты. Метод Адамса. Класс многошаговых методов, условие корней, нуль - устойчивость. Жесткие задачи, А - и А(α) - устойчивость, методы Гира.

21. Двуслойные разностные схемы. Устойчивость по начальным данным. Устойчивость по правой части. ρ - устойчивость и асимптотическая устойчивость.

22. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Свойства разностного оператора. Сходимость. Прямые методы реализации разностной схемы.

23. Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Операторная запись; аппроксимация; устойчивость по начальным данным, по правой части; асимптотическая устойчивость.

24. Уравнение переноса: условие Куранта, устойчивость, монотонность; метод частиц. Схема Годунова. Схемы TVD.

25. Экономичные методы для эволюционных задач: факторизованный оператор, метод переменных направлений, метод суммарной аппроксимации.

26. Метод конечных элементов. Разрывный метод Галеркина.

27. Адаптивные, структурированные, неструктурированные сетки. Использование метрики для адаптации.

28. Двуслойные итерационные методы, примеры, теорема сходимости. Стационарный метод с оптимальным параметром.

29. Явный метод с Чебышёвским набором параметров. Неявные итерационные методы: попеременно-треугольный и переменных направлений. Вариационно - итерационные методы. Понятие о методе сопряженных градиентов.

30. Вейвлеты и разбиение пространств. Ортогональный вейвлет-базис. Точность и гладкость вейвлет-представления. Алгоритм пирамиды Маллата. Применение вейвлет-анализа в численных методах. 

31. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на поверхности: длина кривой, угол между кривыми, площадь поверхности.

32. Арифметические основы работы ЭВМ.

33. Использование регистровой памяти ЭВМ, параллелизм работы основных устройств ЭВМ, организация параллелизма обработки данных в вычислительных системах.

34. Операционные системы, основные функции. Типы операционных систем. Управление виртуальной памятью задачи, многозадачным режимом  работы ЭВМ, работой внешних устройств.

35. Парадигмы программирования (функциональное, императивное, объектно-ориентированное программирование).

36. Основные технологии передачи информации. Эталонная модель OSI. Эталонная модель TCP/IP. Архитектура интернета.

37. Сетевой  (межсетевой) уровень. Алгоритмы маршрутизации. Транспортный уровень. Прикладной уровень.

38. Архитектура современных многопроцессорных вычислительных систем.

39. Критерии эффективности распараллеливания вычислений. Геометрическое распараллеливание для задач математической физики. Методы динамического перераспределения нагрузки.

40. Программирование распараллеливания вычислений на общей памяти многопроцессорной системы. OpenMP - модель параллелизма по управлению. Основные понятия. Конструкции распределения работы. Конструкции для синхронизации нитей.

41. Программирование распараллеливания вычислений на распределенной памяти многопроцессорной системы. Использование средств MPI.

Литература

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. - М.: Наука, 2001.

2.  Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1977.

3. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

5. Бицадзе. А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

6. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. - М.-Ижевск, 2011.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука. 1989.

8. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. М., Наука, 1992.

9. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные схемы газовой динамики. М., МГУ, 1999.

10. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М. 1994. 206 с.

11. Лисейкин В.Д. Разностные сетки. Теория и приложения. Новосибирск, изд. СО РАН, 2014.

12. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. -М.: Научный мир, 2000.

13.Численные методы. В 2-х кн.: кн. 1: Численный анализ / Н. Н. Калиткин, Е. А. Альшина. - М. : Академия, 2013; кн. 2 : Методы математической физики / Н. Н. Калиткин, П. В. Корякин. - М.: Академия, 2013.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М. СПб.: Физматлит, 2001.

15.  Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов. - М.: изд. МАКС Пресс, 2010.

16. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит. 2007.

17. Ширяев А. Н., Эрлих И. Г., Яськов П. А. Вероятность в теоремах и задачах. М.: МЦНМО, 2013

18.  Волькенштейн М. В. Энтропия и информация. М.: Наука, 2006.

19. Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях. - М.: Наука, 1992

20. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. - М.: Мир, 1978. C. Cercignani. Rarefied Gas Dynamics. - Cambridge University Press, 2000.

21. Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем. - М.: Наука, 1983

22. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. - М.: Мир, 2003

23. Jacobs K.  Stochastic Processes for PhysicistsUnderstanding Noisy Systems - Cambridge University Press, 2010.

24. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории, Мир математики, 2004.

25. Якобовский М.В. Введение в параллельные методы решения задач: Учебное пособие/Предисл.: В.А.Садовничий. – М.: Издательство Московского университета, 2012. – 328 с., илл. – (Серия «Суперкомпьютерное образование»), ISBN 978-5-211-06382-2.

26. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

27. Лацис А.О. Параллельная обработка данных. – М.: Академия, 2010. – 336 с. ISBN 978-5-7695-5951-8.

28. Дейкстра Э. «Взаимодействие последовательных процессов». Сборник «Языки программирования» под ред. Ф. Женюи, М., «Мир», 1972, сс. 9-86.

29. Пратт Т., Зелкович М. Языки программирования. Питер. 2002

30. Столингс У. Операционные системы. Вильямс.2002.

31. Таненбаум Э., Уэзеролл  Д. «Компьютерные сети», 5-е издание, Питер, 2012.

32. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство.  М.: УРСС. 2003.



© Казахстанский филиал Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова. Все права защищены.